Question

7．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$-bx+1．
（1）若2a-b=4，則當a＞2時，討論f（x）單調(diào)性；
（2）若b=-1，F(xiàn)（x）=f（x）-$\frac{5}{x}$，且當a≥-4時，不等式F（x）≥2在區(qū)間[1，4]上有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出F（x）的最大值是F（4），求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵2a-b=4，∴$f（x）=alnx+\frac{1}{x}+（4-2a）x+1$，
∴$f'（x）=\frac{a}{x}-\frac{1}{x^2}+（4-2a）=\frac{{（4-2a）{x^2}+ax-1}}{x^2}=\frac{[（2-a）x+1]（2x-1）}{x^2}$，
令f'（x）=0，得$x{\;}_1=\frac{1}{2}，{x_2}=\frac{1}{a-2}$，
當a=4時，f'（x）≤0，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減
當2＜a＜4時，在區(qū)間$（0，\frac{1}{2}），（\frac{1}{a-2}，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減$，
在區(qū)間$（\frac{1}{2}，\frac{1}{a-2}）上，f'（x）＞0，f（x）$上單調(diào)遞增，
當a＞4時，在區(qū)間$（{0，\frac{1}{a-2}}），（{\frac{1}{2}，+∞}）$上f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
在區(qū)間$（{0，\frac{1}{a-2}，\frac{1}{2}}）$上f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
（2）由題意知，當a≥-4時，F(xiàn)（x）在[1，4]上的最大值M≥2，
當b=-1時，$F（x）=f（x）-\frac{5}{x}=x-\frac{4}{x}+alnx+1$，
則$F'（x）=\frac{{{x^2}+ax+4}}{x^2}（1≤x≤4）$
①當-4≤a≤4時，$F'（x）=\frac{{{{（x+\frac{a}{2}）}^2}+4-\frac{a^2}{4}}}{x^2}≥0$，
故F（x）在[1，4]上單調(diào)遞增，M=F（4）
②當時a＞4時，設(shè)x²+ax+4=0（△=a²-16＞0）的兩根分別為：${x_{1，}}{x_{2，}}∵\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-a＜0}\\{{x_1}{x_2}=4}\end{array}}\right.∴{x_1}＜0，{x_2}＜0$，
則$F'（x）=\frac{{{x^2}+ax+4}}{x^2}＞0$故F（x）在[1，4]上單調(diào)遞增，M=F（4），
綜上，當a≥-4時，F(xiàn)（x）在[1，4]上單調(diào)遞增，
M=F（4）=$4-1+aln4+1≥2，解得a≥-\frac{1}{ln2}$，
所以實數(shù)a的取值范圍是$[-\frac{1}{ln2}，+∞）$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．