Question

17．對于n維向量A=（a₁，a₂，…，a_n），若對任意i∈{1，2，…，n}均有a_i=0或a_i=1，則稱A為n維T向量．對于兩個n維T向量A，B，定義d（A，B）=$\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}$．
（Ⅰ）若A=（1，0，1，0，1），B=（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值．
（Ⅱ）現(xiàn)有一個5維T向量序列：A₁，A₂，A₃，…，若A₁=（1，1，1，1，1）且滿足：d（A_i，A_i+1）=2，i∈N^*．求證：該序列中不存在5維T向量（0，0，0，0，0）．
（Ⅲ）現(xiàn)有一個12維T向量序列：A₁，A₂，A₃，…，若${A_1}=（\underbrace{1，1，…，1}_{12個}）$且滿足：d（A_i，A_i+1）=m，m∈N^*，i=1，2，3，…，若存在正整數(shù)j使得${A_j}=（\underbrace{0，0，…，0}_{12個}）$，A_j為12維T向量序列中的項，求出所有的m．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由于A=（1，0，1，0，1），B=（0，1，1，1，0），由定義$d（A，B）=\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}$，求d（A，B）的值．
（Ⅱ）利用反證法進行證明即可；
（Ⅲ）根據(jù)存在正整數(shù)j使得${A_j}=（\underbrace{0，0，…，0}_{12個}）$，A_j為12維T向量序列中的項，求出所有的m．

解答 解：（Ⅰ）由于A=（1，0，1，0，1），B=（0，1，1，1，0），由定義$d（A，B）=\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}$，
可得d（A，B）=4．…（4分）
（Ⅱ）反證法：若結(jié)論不成立，即存在一個含5維T向量序列，A₁，A₂，A₃，…A_n，
使得A₁=（1，1，1，1，1），A_m=（0，0，0，0，0）．
因為向量A₁=（1，1，1，1，1）的每一個分量變?yōu)?，都需要奇數(shù)次變化，
不妨設(shè)A₁的第i（i=1，2，3，4，5）個分量1變化了2n_i-1次之后變成0，
所以將A₁中所有分量1變?yōu)?共需要（2n₁-1）+（2n₂-1）+（2n₃-1）+（2n₄-1）+（2n₅-1）=2（n₁+n₂+n₃+n₄+n₅-2）-1次，此數(shù)為奇數(shù)．
又因為$d（{A_i}，{A_{i+1}}）=2，i∈{N^*}$，說明A_i中的分量有2個數(shù)值發(fā)生改變，
進而變化到A_i+1，所以共需要改變數(shù)值2（m-1）次，此數(shù)為偶數(shù)，所以矛盾．
所以該序列中不存在5維T向量（0，0，0，0，0）．…（9分）
（Ⅲ）存在正整數(shù)j使得${A_j}=（\underbrace{0，0，…，0}_{12個}）$，A_j為12維T向量序列中的項，此時m=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．…（13分）

點評 本題考查集合知識，考查反證法，考查新定義，難度大．