Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，?n∈N^*滿足$\frac{{{S_{n+1}}}}{n+1}-\frac{S_n}{n}=\frac{1}{2}$，且a₁=1，正項(xiàng)數(shù)列{b_n}滿足b_n+1²-b_n+1=b_n²+b_n（n∈N^*），其前7項(xiàng)和為42．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令c_n=$\frac{b_n}{a_n}+\frac{a_n}{b_n}$，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若對(duì)任意正整數(shù)n，都有T_n≥2n+a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）將數(shù)列{a_n}，{b_n}的項(xiàng)按照“當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n放在前面；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，b_n放在前面”的要求進(jìn)行排列，得到一個(gè)新的數(shù)列：a₁，b₁，b₂，a₂，a₃，b₃，b₄，a₄，a₅，b₅，b₆，…，求這個(gè)新數(shù)列的前n項(xiàng)和P_n．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，?n∈N^*滿足$\frac{{{S_{n+1}}}}{n+1}-\frac{S_n}{n}=\frac{1}{2}$，且a₁=1，可得數(shù)列$\{\frac{{S}_{n}}{n}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為$\frac{1}{2}$．利用通項(xiàng)公式可得S_n．利用遞推關(guān)系即可得出a_n．正項(xiàng)數(shù)列{b_n}滿足b_n+1²-b_n+1=b_n²+b_n（n∈N^*），化為：（b_n+1+b_n）（b_n+1-b_n）=b_n+1+b_n，可得b_n+1-b_n=1．再利用等差數(shù)列的求和公式即可得出．
（2）c_n=$\frac{b_n}{a_n}+\frac{a_n}{b_n}$=2+2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用裂項(xiàng)求和方法、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．
（3）n=2k時(shí)，P_n=P_2k=（a₁+a₂+…+a_k）+（b₁+b₂+…+b_k）．n=2k-1時(shí)，2k被2整除而不能被4整除時(shí)，P_n=P_2k-b_k．2k被4整除時(shí)，P_n=P_2k-a_k．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，?n∈N^*滿足$\frac{{{S_{n+1}}}}{n+1}-\frac{S_n}{n}=\frac{1}{2}$，且a₁=1，
∴數(shù)列$\{\frac{{S}_{n}}{n}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1），解得S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{n（n-1）}{2}$=n，n=1時(shí)也成立．
∴a_n=n．
正項(xiàng)數(shù)列{b_n}滿足b_n+1²-b_n+1=b_n²+b_n（n∈N^*），化為：（b_n+1+b_n）（b_n+1-b_n）=b_n+1+b_n，
∴b_n+1-b_n=1．
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，公差為1．
∵其前7項(xiàng)和為42，∴7b₁+$\frac{7×6}{2}$×1=42，解得b₁=3．
∴b_n=3+n-1=n+2．
（2）c_n=$\frac{b_n}{a_n}+\frac{a_n}{b_n}$=2+2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=2n+2$[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=2n+2$（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=2n+2$（\frac{3}{2}-\frac{1}{（n+1）（n+2）}）$，
T_n≥2n+a，化為：2$（\frac{3}{2}-\frac{1}{（n+1）（n+2）}）$≥a，∴a≤$\frac{8}{3}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（-∞，\frac{8}{3}]$．
（3）n=2k時(shí)，P_n=P_2k=（a₁+a₂+…+a_k）+（b₁+b₂+…+b_k）
=$\frac{k（k+1）}{2}$+$\frac{k（3+k+2）}{2}$=k²+3k=$（\frac{n}{2}）^{2}$+3×$\frac{n}{2}$=$\frac{{n}^{2}+6n}{4}$．
n=2k-1時(shí)，2k被2整除而不能被4整除時(shí)，P_n=P_2k-b_k=$\frac{（2k）^{2}+6×2k}{4}$-（k+2）=k²+2k-2．
2k被4整除時(shí)，P_n=P_2k-a_k=$\frac{（2k）^{2}+6×2k}{4}$-k=k²+2k．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其性質(zhì)、裂項(xiàng)求和、數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．