Question

4．設(shè)F₁，F(xiàn)₂是橢圓$C：\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$的兩焦點，點P（異于點F₁，F(xiàn)₂）關(guān)于點F₁，F(xiàn)₂的對稱點分別為點P₁，P₂，線段PQ的中點在橢圓C上，則|P₁Q|+|P₂Q|=4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由題意作圖象，設(shè)線段PQ的中點為M，連結(jié)MF₁，MF₂，從而可得|QP₁|=2|MF₁|，|QP₂|=2|MF₂|，從而結(jié)合橢圓的定義解得．

解答 解：由題意作圖象如右圖，
設(shè)線段PQ的中點為M，
連結(jié)MF₁，MF₂，
∵F₁是PP₁的中點，線段PQ的中點為M，
∴|QP₁|=2|MF₁|，
同理可得，
|QP₂|=2|MF₂|，
∴|P₁Q|+|P₂Q|=2（|MF₁|+|MF₂|）
=2•2a=4a，
∵a=$\sqrt{5}$，
∴4a=4$\sqrt{5}$；
故|P₁Q|+|P₂Q|=4$\sqrt{5}$；
故答案為：4$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及橢圓的定義的應(yīng)用．