Question

19．已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x）=6x+2，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點$（{n，{S_n}}）（{n∈{N^*}}）$均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）設(shè)${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，若T_n=m對所有n∈N^*都成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)這二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0），則f'（x）=2ax+b，由于f'（x）=6x+2，解得a，b，可得f（x）=3x²+2x．根據(jù)點$（n，{S_n}）（n∈{N^*}）$均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，可得${S_n}=3{n^2}+2n$利用遞推關(guān)系即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）得知${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（6n-1）（6n+5）}$=$\frac{1}{6}（\frac{1}{6n-1}-\frac{1}{6n+5}）$，利用“裂項求和”方法與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)這二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0），則f'（x）=2ax+b，-------------（1分）
由于f'（x）=6x+2，得a=3，b=2，
所以，f（x）=3x²+2x．-------------------------------------（3分）
又因為點$（n，{S_n}）（n∈{N^*}）$均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，所以${S_n}=3{n^2}+2n$．-----（4分）
當(dāng)n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（3{n^2}+2n）-[3{（n-1）^2}+2（n-1）]=6n-1$，-----（5分）
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=5，所以，${a_n}=6n-1（n∈{N^*}）$．----------------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（6n-1）（6n+5）}$=$\frac{1}{6}（\frac{1}{6n-1}-\frac{1}{6n+5}）$，---（8分）
故${T_n}=\frac{1}{6}[（\frac{1}{5}-\frac{1}{11}）+（\frac{1}{11}-\frac{1}{17}）+…+（\frac{1}{6n-1}-\frac{1}{6n+5}）]=\frac{1}{6}（\frac{1}{5}-\frac{1}{6n+5}）$．------（10分）
因此，要使${T_n}=\frac{1}{30}-\frac{1}{36n+30}＜m$，須$m≥\frac{1}{30}$，-----------------（11分）
所以，T_n＜m對所有n∈N^*都成立的m的最小值為$\frac{1}{30}$．--------------（12分）

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則、“裂項求和”方法與數(shù)列的單調(diào)性、數(shù)列遞推關(guān)系、二次函數(shù)的定義及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．