Question

9．如圖所示，該幾何體是一個由直三棱柱ADE-BCF和一個正四棱錐P-ABCD組合而成，AD⊥AF，AE=AD=2
（1）證明：平面PAD⊥平面ABFE；
（2）若正四棱錐P-ABCD的體積是三棱錐P-ABF體積的4倍，求正四棱錐P-ABCD的高．

Answer 1

分析 （1）證明AD⊥平面ABFE，即可證明平面PAD⊥平面ABFE．
（2）連結(jié)BD與AC交于點O，連結(jié)PO，推導(dǎo)出P到平面ABEF的距離等于O到平面ABEF的距離，從而P到平面ABF的距離為d=1，由此能求出正四棱錐P-ABCD的高．

解答 證明：（1）直三棱柱ADE-BCF中，∵AB⊥平面ADE，
∴AB⊥AD，又AD⊥AF，
∴AD⊥平面ABFE，AD?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABFE…．（6分）
解：（2）連結(jié)BD與AC交于點O，連結(jié)PO，
∵正四棱錐P-ABCD，∴PO⊥平面ABCD，
又∵直三棱柱ADE-BCF，∴AB⊥AE，且有AD⊥平面ABEF，
∴AD⊥AE，
∴AE⊥平面ABCD，則PO∥AE，
∵AE?平面ABEF，∴PO∥平面ABEF，
則P到平面ABEF的距離等于O到平面ABEF的距離，
又∵O為BD中點，∴O到平面ABEF的距離為$\frac{1}{2}AD$=1，
∴P到平面ABF的距離為d=1，
∴${V}_{P-ABF}=\frac{1}{3}{S}_{△ABF}•d$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1=\frac{2}{3}$，
設(shè)正四棱錐P-ABCD的高為h，
∵正四棱錐P-ABCD的體積是三棱錐P-ABF體積的4倍，
∴${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{△ABCD}•h=\frac{1}{3}×2×2h$=4V_P-ABF=$\frac{8}{3}$，
解得h=2，
∴正四棱錐P-ABCD的高為2．

點評 本題主要考查空間面面垂直的判斷以及正四棱棱的高的求解，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．