Question

7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長分別a，b，c，f（x）=2sinxcos（x+A）+sin（B+C）（x∈R），函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)$（{\frac{π}{3}，0}）$對(duì)稱．
（I）求A；
（II）若b=6，△ABC的面積為$6\sqrt{3}$，求$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)兩角和的正余弦公式及二倍角的公式進(jìn)行化簡，便可得出f（x）=sin（2x+A），根據(jù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)$（\frac{π}{3}，0）$對(duì)稱，即可得出$f（\frac{π}{3}）=0$，從而求出A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由三角形的面積公式即可求出c=4，由余弦定理即可求出a，及cosC的值，然后進(jìn)行數(shù)量積的計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcos（x+A）+sin（B+C）
=2sinx（cosxcosA-sinxsinA）+sinA
=2sinxcosxcosA-2sin²xsinA+sinA
=sin2xcosA+cos2xsinA
=sin（2x+A）；
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)$（\frac{π}{3}，0）$對(duì)稱；
所以$f（\frac{π}{3}）=0$；
即$sin（\frac{2π}{3}+A）=0$，又∵0＜A＜π；
∴$\frac{2π}{3}+A=π$；
∴$A=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵b=6，△ABC的面積為$6\sqrt{3}$；
∴$\frac{1}{2}•6csin\frac{π}{3}=6\sqrt{3}$；
∴c=4；
∴${a}^{2}={6}^{2}+{4}^{2}-2•6•4cos\frac{π}{3}=28$；
∴$a=2\sqrt{7}$，$cosC=\frac{{{{（2\sqrt{7}）}^2}+{6^2}-{4^2}}}{{2×2\sqrt{7}×6}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}=6×2\sqrt{7}cos（π-C）=12\sqrt{7}×（-\frac{{2\sqrt{7}}}{7}）=-24$．

點(diǎn)評(píng) 考查兩角和的正余弦公式，二倍角公式，函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)和函數(shù)解析式的關(guān)系，以及三角形面積公式，余弦定理，數(shù)量積的計(jì)算公式．