Question

16．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為CC₁和BB₁的中點，則異面直線AE與D₁F所成角的余弦值為（　　）

• A． 0
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{12}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{1}{9}$

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AE與D₁F所成角的余弦值．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，
則A（2，0，0），E（0，2，1），D₁（0，0，2），F(xiàn)（2，2，1），
$\overrightarrow{AE}$=（-2，2，1），$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（2，2，-1），
設(shè)直線AE與D₁F所成角為θ，
則cosθ=|$\frac{-4+4-1}{\sqrt{4+4+1}•\sqrt{4+4+1}}$|=$\frac{1}{9}$．
∴直線AE與D₁F所成角的余弦值為$\frac{1}{9}$．
故選D．

點評 本題考查兩異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．