Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx-

π

6

）（ω＞0）在（0，

4π

3

]上單調(diào)遞增，在（

4π

3

，2π]上單調(diào)遞減，
（1）求ω的值；
（2）當(dāng)x∈[π，2π]時(shí)，不等式m-3≤f（x）≤m+3恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由x=

4π

3

時(shí)f（x）取得最大值1，從而有8ω=12K+4，k∈z，又由題意

T

2

≥

4π

3

且

T

2

≥

2π

3

，可得0＜ω≤

3

4

，從而可求ω的值；
（2）令t=

1

2

x-

π

6

，可求f（x）的值域?yàn)閇

1

2

，1]，由題意可得

m-3≤ 1 2 1≤m+3

，從而解得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知條件知，x=

4π

3

時(shí)f（x）取得最大值1，從而有ω×

4π

3

-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即8ω=12K+4，k∈z…（3分）
又由題意可得該函數(shù)的最小正周期T滿足：

T

2

≥

4π

3

且

T

2

≥

2π

3

，
于是有T≥

8π

3

，0＜ω≤

3

4

，滿足0＜12K+4≤6的正整數(shù)k的值為0，
于是ω=

1

2

…（6分）
（2）令t=

1

2

x-

π

6

，因?yàn)閤∈[π，2π]，得t∈[

π

3

，

5π

6

]，
由y=sint，t∈[

π

3

，

5π

6

]得y∈[

1

2

，1]，即f（x）的值域?yàn)閇

1

2

，1]，
由于x∈[π，2π]時(shí)，不等式m-3≤f（x）≤m+3，恒成立，
故有

m-3≤ 1 2 1≤m+3

，
解得-2≤m≤

7

2

，
即m的取值范圍是[-2，

7

2

]…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦函數(shù)的周期性和復(fù)合函數(shù)的值域，考查了不等式的解法，屬于中檔題．