Question

10．已知$\overrightarrow{AC}$=（cos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（sin$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$，2cos$\frac{x}{2}$），
（1）設(shè)f（x）=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$，求f（x）的最小正周期及在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最值；
（2）設(shè)x₁，x₂為f（x）=$\frac{\sqrt{6}}{2}$在（π，3π）內(nèi)的兩個實數(shù)根，求x₁+x₂的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，利用二倍角公式及輔助角公式將f（x）化簡，根據(jù)周期公式及正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)即可求得求f（x）的最小正周期及在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最值；
（2）由f（x）=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求得sin（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性即可求得x₁+x₂的值．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=（cos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$）•（sin$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$）+sin$\frac{x}{2}$•2cos$\frac{x}{2}$，
=sin²$\frac{x}{2}$-cos²$\frac{x}{2}$+2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$，
=sinx-cosx，
=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
由T=$\frac{2π}{ω}$=2π，
x∈[0，$\frac{π}{2}$]，x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
由正弦函數(shù)圖象可知f（x）的最大值為1，最小值為-1，
f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為1，最小值為-1；
（2）f（x）=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，即sin（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x₁-$\frac{π}{4}$，x₂-$\frac{π}{4}$關(guān)于x=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z）對稱，
由x₁，x₂∈（π，3π），x₁-$\frac{π}{4}$，x₂-$\frac{π}{4}$關(guān)于x=$\frac{π}{2}$+2π對稱，
由正弦函數(shù)圖象可知：x₁+x₂=（$\frac{π}{2}$+2π）×2+$\frac{π}{4}$×2=$\frac{11π}{2}$，
∴x₁+x₂=$\frac{11π}{2}$．

點評 本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)周期公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．