Question

5．已知雙曲線方程為$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），A（0，b），C（0，-b），B是雙曲線的左頂點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，直線AB與FC相交于D，若雙曲線離心率為2，則∠BDF的余弦值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{7}}}{7}$
• B． $\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$
• C． $\frac{{\sqrt{7}}}{14}$
• D． $\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$

Answer 1

分析 根據(jù)離心率的關(guān)系求出a，b，c的關(guān)系，利用∠BDF的余弦值與向量夾角之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積進(jìn)行求解即可．

解答 解：雙曲線離心率為2，
∴e=$\frac{c}{a}=2$，即c=2a，則b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
則F（-c，0），B（-a，0），
則cos∠BDF=cos＜$\overrightarrow{CF}$，$\overrightarrow{BA}$＞，
$\overrightarrow{CF}$=（-c，b），$\overrightarrow{BA}$=（a，b），
則cos＜$\overrightarrow{CF}$，$\overrightarrow{BA}$＞=$\frac{\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{CF}||\overrightarrow{BA}|}$=$\frac{^{2}-ac}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}•\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}}$
=$\frac{3{a}^{2}-2{a}^{2}}{\sqrt{3{a}^{2}+4{a}^{2}}•2a}$=$\frac{{a}^{2}}{2\sqrt{7}{a}^{2}}$=$\frac{{\sqrt{7}}}{14}$，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)向量夾角與∠BDF的余弦值的關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積是解決本題的關(guān)鍵．