Question

9．已知過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F且斜率為$\sqrt{3}$的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且|AF|＞|BF|，則$\frac{{|{AF}|}}{{|{BF}|}}$=3．

Answer 1

分析 設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l，分別過(guò)點(diǎn)A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足為M，N．過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AM交于點(diǎn)C．由拋物線的定義可得：|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．由于AM∥x軸，∠BAC=∠AFx=60°．在Rt△ABC中，|AC|=$\frac{1}{2}$|AB|，化簡(jiǎn)即可得出．

解答 解：斜率為$\sqrt{3}$的直線傾斜角為60°．
設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l：x=-$\frac{p}{2}$．
如圖所示，分別過(guò)點(diǎn)A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足為M，N．
過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AM交于點(diǎn)C．
則|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．
∵AM∥x軸，
∴∠BAC=∠AFx=60°．
在Rt△ABC中，|AC|=$\frac{1}{2}$|AB|
又|AM|-|BN|=|AC|，
∴|AF|-|BF|=$\frac{1}{2}$（|AF|+|BF|），
化為|AF|=3|BF|，則$\frac{{|{AF}|}}{{|{BF}|}}$=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義、含60°角的直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，考查了輔助線的作法，屬于中檔題．