Question

19．已知正三棱錐V-ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示，則該正三棱錐側(cè)棱與底面所成的角是（　�。�

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $arcsin\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• C． $\frac{π}{6}$
• D． $arcsin\frac{{2\sqrt{39}}}{13}$

Answer 1

分析 由三視圖畫出對(duì)應(yīng)直觀圖，根據(jù)正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征判斷出頂點(diǎn)V在底面上的射影，由圖象和正三角形的特征求出側(cè)棱在底面上的射影，根據(jù)線面成角的定義判斷出側(cè)棱與底面所成的角，由余弦函數(shù)求出此角的余弦值，由特殊角的三角函數(shù)值求出此角的大小．

解答 解：由三視圖畫出直觀圖如圖所示：
O是頂點(diǎn)V在底面的射影，且O是正三角形ABC的中心，D是BC的中點(diǎn)，
由三視圖可得，側(cè)棱VA=4，AB=BC=AC=2$\sqrt{3}$，
∴底面△ABC外接圓的半徑OA=$\frac{2}{3}AD$=$\frac{2}{3}×\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=2
∴側(cè)棱在底面上的射影A0=2，
由線面成角的定義可知該正三棱錐側(cè)棱與底面所成的角是∠VAO，
∴$cos∠VAO=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，則三棱錐側(cè)棱與底面所成的角為$\frac{π}{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正三棱錐的三視圖、結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，線面成角的定義，正確畫出直觀圖是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力和數(shù)形結(jié)合思想．