Question

1．在正四面體P-ABC體積為V，現(xiàn)內(nèi)部取一點(diǎn)S，則$\frac{V}{3}＜{V_{S-ABC}}＜\frac{V}{2}$的概率為（　�。�

• A． $\frac{37}{216}$
• B． $\frac{8}{27}$
• C． $\frac{91}{216}$
• D． $\frac{13}{27}$

Answer 1

分析 首先確定滿足條件的點(diǎn)S的區(qū)域，即區(qū)域D；然后確定所求的事件中的點(diǎn)所在區(qū)域d；分別計(jì)算區(qū)域D和d的體積；最后計(jì)算所求概率

解答 解：作出P在底面△ABC的射影為O，
若V_S-ABC=$\frac{1}{2}$V_S-ABC，則高OS=$\frac{1}{2}$OP，
分別取PA、PB、PC上的點(diǎn)E、F、D，
并使SE=2EA，SF=2FC，SD=2DB，如圖
并連結(jié)EF、FD、DE，則平面EFD∥平面ABC．
當(dāng)點(diǎn)S在正四面體P-EFD內(nèi)部運(yùn)動時(shí)，
即此時(shí)S在三棱錐V_P-ABC的中垂面DEF上，
滿足V_S-ABC＜$\frac{1}{2}$V_P-ABC的點(diǎn)P位于在三棱錐V_P-ABC的中垂面DEF以下的棱臺內(nèi)，
同理，V_S-ABC＞$\frac{1}{3}$V_P-ABC的S在距離ABC為$\frac{1}{3}$OS的平面以上的棱錐內(nèi)，
所以滿足$\frac{V}{3}＜{V_{S-ABC}}＜\frac{V}{2}$的棱臺體積為（1$-\frac{1}{8}V$）-（1-$\frac{8}{27}V$）=$\frac{37}{216}V$；
由幾何概型，滿足“$\frac{V}{3}＜{V_{S-ABC}}＜\frac{V}{2}$”的概率為$\frac{\frac{37V}{216}}{V}=\frac{37}{216}$，
故選A．

點(diǎn)評 本題考查了幾何概型的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)P所表示的區(qū)域，利用體積比求概率．