Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-2x（e為自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求f（x）的極小值；
（2）求證：f（x）≥-x+1在[0，+∞）上恒成立．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=e^x-2，由導(dǎo)數(shù)可知f（x）在（-∞，ln2）上是減函數(shù)，在（ln2，+∞）上是增函數(shù)，從而求極值．
（2）令F（x）=f（x）+x-1=e^x-x-1；化恒成立問題為函數(shù)的最值問題，從而證明．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-2x，
∴f′（x）=e^x-2，
∴當(dāng)x＜ln2時，f′（x）＜0，當(dāng)x＞ln2時，f′（x）＞0，
故f（x）在（-∞，ln2）上是減函數(shù)，在（ln2，+∞）上是增函數(shù)，
故f（x）在x=ln2處有極小值為f（ln2）=2-2ln2．
（2）證明：令F（x）=f（x）+x-1=e^x-x-1；
F′（x）=e^x-1，
∴當(dāng)x＜0時，F(xiàn)′（x）＜0，當(dāng)x＞0時，F(xiàn)′（x）＞0，
故F（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，
故F（x）≥F（0）=1-0-1=0；
故f（x）≥-x+1在[0，+∞）上恒成立．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題的處理方法，屬于中檔題．