Question

從正方體的各表面對角線中隨機取兩條，這兩條表面對角線成的角的度數(shù)的數(shù)學(xué)期望為

 

．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：這兩條表面對角線成的角的度數(shù)ξ的可能取值為0°，60°，90°，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出這兩條表面對角線成的角的度數(shù)的數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：在正方體ABCD-A′B′C′D′中，
與上平面A′B′C′D′中一條對角線A′C′成60°的直線有BC′，B′C，
A′D，AD′，A′B，AB′，D′C，DC′共八對直線，
與上平面A′B′C′D′中另一條對角線成60°的直線也有八對直線，
所以一個平面中有16對直線，正方體6個面共有16×6對直線，
去掉重復(fù)，則有

16×6

2

=48對．
同理，對角線成90°的有24對直線，對角線成0°的有12對直線，
∴這兩條表面對角線成的角的度數(shù)ξ的可能取值為0°，60°，90°，
P（ξ=0°）=

12

12+24+48

=

1

7

，
P（ξ=60°）=

48

12+24+48

=

4

7

，
P（ξ=90°）=

24

12+24+48

=

2

7

，
∴Eξ=0°×

1

7

+60°×

4

7

+90°×

2

7

=60°．
故答案為：60°．

點評：本題考查數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意正方體結(jié)構(gòu)特征的合理運用．