Question

20．已知$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow$=（4，3），$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$，|$\overrightarrow{c}$|=1，求實(shí)數(shù)x和y的值．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$=（3x+4y，4x+3y），根據(jù)向量模的計(jì)算，向量垂直得到關(guān)于x，y的方程組，解得即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow$=（4，3），
∴$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$=（3x+4y，4x+3y），
∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=3（3x+4y）+4（4x+3y），即3x+4y=-$\frac{4}{3}$（4x+3y）①
∵|$\overrightarrow{c}$|=1，
∴（3x+4y）²+（4x+3y）²=1，②，
由①②得，
$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y=\frac{4}{5}}\\{4x+3y=-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y=-\frac{4}{5}}\\{4x+3y=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{24}{35}}\\{y=\frac{5}{7}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{24}{35}}\\{y=-\frac{5}{7}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算以及方程組的解法，屬于中檔題．