Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x²+y²=4和橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，動(dòng)直線l過(guò)點(diǎn)M（0，$\frac{3}{2}$）且與圓O交于A，B兩點(diǎn)，自A，B分別作x軸的垂線交橢圓C于A₁，B₁，A₁與A，B₁與B不在x軸的異側(cè)．
（1）請(qǐng)?zhí)骄浚褐本�A₁B₁是否過(guò)定點(diǎn)？
（2）若直線AB和A₁B₁相交，證明交點(diǎn)在x軸上．

Answer 1

分析 （1）考慮直線l的斜率為0，求得交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，可得直線A₁B₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，$\frac{3}{4}$），猜想直線A₁B₁過(guò)定點(diǎn)（0，$\frac{3}{4}$）．設(shè)直線l的方程為y=kx+$\frac{3}{2}$，代入圓的方程，可得x的方程；設(shè)直線A₁B₁的方程為y=k'x+$\frac{3}{4}$，代入橢圓x²+4y²=4，可得x的方程，令2k'=k，可得兩方程有相同的兩根，即可得到定點(diǎn)；
（2）聯(lián)立兩直線方程，求得交點(diǎn)，由2k'=k，即可得到交點(diǎn)在x軸上．

解答 解：（1）當(dāng)直線l的斜率為0，即l：y=$\frac{3}{2}$，
代入圓O：x²+y²=4，可得交點(diǎn)A（-$\frac{\sqrt{7}}{2}$，$\frac{3}{2}$），B（$\frac{\sqrt{7}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
令x=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$，代入橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可得y=±$\frac{3}{4}$，
由題意可得直線A₁B₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，$\frac{3}{4}$），
猜想直線A₁B₁過(guò)定點(diǎn)（0，$\frac{3}{4}$）．
設(shè)直線l的方程為y=kx+$\frac{3}{2}$，代入圓x²+y²=4，可得
（1+k²）x²+3kx-$\frac{7}{4}$=0，①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁，x₂是方程①的兩根，
設(shè)直線A₁B₁的方程為y=k'x+$\frac{3}{4}$，
代入橢圓x²+4y²=4，可得（1+4k'²）x²+6k'x-$\frac{7}{4}$=0，②
令2k'=k，則方程①②為同一方程，x₁，x₂是方程②的兩根．
故直線A₁B₁過(guò)定點(diǎn)（0，$\frac{3}{4}$）；
（2）證明：由直線y=kx+$\frac{3}{2}$和直線y=k'x+$\frac{3}{4}$，k≠0，
解方程可得x=$\frac{3}{4（k'-k）}$，y=$\frac{3（k-2k'）}{4（k-k'）}$，
由2k'=k，可得x=-$\frac{3}{2k}$，y=0．
即有直線AB和A₁B₁相交，交點(diǎn)為（-$\frac{3}{2k}$，0），在x軸上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓、橢圓的位置關(guān)系，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)的求法，注意先運(yùn)用特殊情況猜想得到定點(diǎn)，考查兩直線的交點(diǎn)的特點(diǎn)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．