Question

19．某重點高中擬把學校打造成新興示范高中，為此制定了很多新的規(guī)章制度．新規(guī)章制度實施一段時間后，學校就新規(guī)章制度隨機抽取100名學生進行問卷調(diào)查，調(diào)查卷共有20個問題，每個問題5分，調(diào)查結(jié)束后，按成績分成5組；第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100），繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知甲、乙兩人同在第3組，丙、丁二人同在第4，5組，現(xiàn)在用分層抽樣的方法在第3，4，5組共選取6人進行強化培訓．
（1）求第3，4，5組分別選取的人數(shù)；
（2）求這100人的平均得分（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；
（3）記X表示甲、丙、丁三人被選取的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布圖，先分別求出3，4，5組的人數(shù)，由此能求出用分層抽樣的方法在第3，4，5組共選取6人進行強化培訓，第3，4，5組分別選取的人數(shù)．
（2）利用頻率分布直方圖能求出這100人的平均得分．
（3）由題意X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）由頻率分布圖，得：
第3組人數(shù)為：0.06×5×100=30人，
第4組人數(shù)為：0.04×5×100=20人，
第5組人數(shù)為：0.02×5×100=10人，
∵用分層抽樣的方法在第3，4，5組共選取6人進行強化培訓，
∴第3組選取的人數(shù)為：30×$\frac{6}{30+20+10}$=3人，
第4組選取的人數(shù)為：20×$\frac{6}{30+20+10}$=2人，
第5組選取的人數(shù)為：10×$\frac{6}{30+20+10}$=1人．
（2）這100人的平均得分：
$\overline{x}$=0.01×5×77.5+0.07×5×82.5+0.06×5×87.5+0.04×5×92.5+0.02×5×97.5=87.25．
（3）∵第3組選取的人數(shù)為3人，第4組選取的人數(shù)為2人，第5組選取的人數(shù)為1人．
甲、乙兩人同在第3組，丙、丁二人同在第4，5組，X表示甲、丙、丁三人被選取的人數(shù)，
∴X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{9}{20}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{9}{20}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{3}^{0}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{1}{20}$

EX=$0×\frac{1}{20}+1×\frac{9}{20}$+2×$\frac{9}{20}$+3×$\frac{1}{20}$=1．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機變量分布列及數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．