Question

4．已知函數(shù)f（x）=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x，給出下列四個(gè)命題：
（1）f（x）的最大值為2；
（2）將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$后所得的函數(shù)是偶函數(shù)；
（3）f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞增；
（4）f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對(duì)稱．
其中正確說(shuō)法的序號(hào)是（　�。�

• A． （2）（3）
• B． （1）（4）
• C． （1）（2）（4）
• D． （1）（3）（4）

Answer 1

分析 利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的最大值、奇偶性、單調(diào)性、以及它的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
利用正弦函數(shù)的有界性可得它的最大值為2，故（1）正確；
將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$后所得到的函數(shù)為y=2sin[2（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{5π}{6}$），
顯然，所得函數(shù)不是偶函數(shù)，故（2）錯(cuò)誤；
在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，故函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，故（3）正確；
令x=$\frac{π}{6}$，求得f（x）=2，為函數(shù)的最大值，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對(duì)稱，故（4）正確，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的最大值、奇偶性、單調(diào)性、以及它的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．