Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以點(diǎn)P為圓心的圓與圓x2+y2-2y=0外切且與x軸相切(兩切點(diǎn)不重合)．

(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)若直線mx一y+2m+5=0(m∈R)與點(diǎn)P的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，問：當(dāng)m變化時，以線段AB為直徑的圓是否會經(jīng)過定點(diǎn)?若會，求出此定點(diǎn)；若不會，說明理由．

 

Answer 1

（1）（＞）；（2）會定點(diǎn)為.

【解析】

試題分析：本題主要考查兩圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系等數(shù)學(xué)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問，由于以點(diǎn)p為圓心的圓與x軸相切，通過數(shù)形結(jié)合得且，解出x與y的關(guān)系，即所求的P點(diǎn)的軌跡方程；第二問，直線與拋物線方程聯(lián)立，消參得到關(guān)于x的方程，得到，，先寫出以線段AB為直徑的圓的方程，將，代入后，得到關(guān)于m的方程，由于m∈R，所以得到，解出唯一解，所以圓過定點(diǎn)（2,1）.

試題解析：⑴設(shè)，由題意知且，得

故所求點(diǎn)的軌跡方程為（＞） 5分

⑵設(shè)、，將代入得

∴ 7分

而以線段為直徑的圓的方程為，

即 ，

得 ， 10分

整理成關(guān)于的方程

由于以上關(guān)于的方程有無數(shù)解，故，

由以上方程構(gòu)成的方程組有唯一解.

由此可知，以線段為直徑的圓必經(jīng)過定點(diǎn). 13分

考點(diǎn)：1.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線與拋物線的位置關(guān)系；3.兩個圓的位置關(guān)系.