考點(diǎn):抽象函數(shù)及其應(yīng)用
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:根據(jù)關(guān)系式先計(jì)算出f(0)=1,要得到結(jié)論只需證明當(dāng)n<n+1屬于自然數(shù)時(shí),f(n+1)-f(n)>0即可.
解答:
證明:根據(jù)題意,得f(1)+f(1)=2f(1)f(0),
又f(1)=
,所以f(0)=1.
對任意的實(shí)數(shù)t,因?yàn)閒(t+1)+f(t-1)=2f(t)f(1)
=2f(t)×
=3f(t),
所以f(t+1)-f(t)=2f(t)-f(t-1)…(*)
又當(dāng)x≥2時(shí),f(
+
)+f(
-
)=2[f(
)]
2,
即f(x)=2[f(
)]
2-f(0)
=2[f(
)]
2-1,
顯然對任意的正整數(shù)x,都有f(x)恒大于零…(**).
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n<n+1屬于自然數(shù)時(shí),f(n+1)-f(n)>0
①當(dāng)n=1時(shí),f(1+1)=2[f(1)]
2-f(0)=
2×()2-1=
>=f(1),
即f(2)-f(1)>0;
②假設(shè)n=k時(shí)成立,即f(k-1)<f(k).
則n=k+1時(shí),由(*)及(**)可知
f(k+1)-f(k)=2f(k)-f(k-1)
>2[f(k)-f(k-1)]>0.
綜上,當(dāng)n
1<n
2屬于自然數(shù)時(shí),f(n
1)<f(n
2).
點(diǎn)評:本題考查抽象函數(shù)表達(dá)式的意義和應(yīng)用,靈活使用抽象函數(shù)的變形是解題的關(guān)鍵,屬中檔題.