【題目】四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,PA⊥平面ABCD,EF分別為線段AB,BC的中點(diǎn).

1)線段AP上一點(diǎn)M,滿足,求證:EM∥平面PDF

2)若PB與平面ABCD所成的角為45°,求二面角A-PD-F的余弦值.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】

1)建立空間直角坐標(biāo)系,利用·=0,即可證明EM∥平面PDF

2)求出平面PDF和平面PAD的一個(gè)法向量,利用向量的夾角公式,即可求解二面角的余弦值.

1)由題意,以A為原點(diǎn),ABx軸,ADy軸,APz軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)PA=a,則A00,0),M0,0,),P00,a),F2,1,0),D0,2,0),

E1,0,0),所以=-1,0,),=21,-a),=0,2,-a),

設(shè)平面PDF的法向量=x,y,z),

,取z=2,得=,a,2),

·=-+2×=0,EM平面PDF,∴EM∥平面PDF

2)因?yàn)?/span>PB與平面ABCD所成的角為45°,可得PA=AB=2,

所以P0,0,2),D0,20),F2,1,0),

所以=0,2,-2),=2,1,0),

設(shè)平面PDF的法向量為=x,y,z),

,取y=1,得=1,1),

又由平面PAD的法向量=1,00),

設(shè)二面角A-PD-F的平面角為θ,則

∴二面角A-PD-F的余弦值為

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)設(shè)的內(nèi)角的對(duì)應(yīng)邊分別為,且若向量與向量共線,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某課題小組共10人,已知該小組外出參加交流活動(dòng)次數(shù)為1,23的人數(shù)分別為3,3, 4,現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).

1)記“選出2人外出參加交流活動(dòng)次數(shù)之和為4”為事件A,求事件A發(fā)生的概率;

2)設(shè)X為選出2人參加交流活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】隨著國(guó)家二孩政策的全面放開(kāi),為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿,某機(jī)構(gòu)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女,結(jié)果如下表.

非一線城市

一線城市

總計(jì)

愿生

45

20

65

不愿生

13

22

35

總計(jì)

58

42

100

附表:

算得,,

參照附表,得到的正確結(jié)論是

A. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”

B. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別無(wú)關(guān)”

C. 有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”

D. 有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別無(wú)關(guān)”

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),f(x)=2a·b.

(1)求f(x)的最小正周期和最大值;

(2)若g(x)=f(x),x,畫(huà)出函數(shù)yg(x)的圖象,討論yg(x)-m(m∈R)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為了適應(yīng)高考改革,某中學(xué)推行“創(chuàng)新課堂”教學(xué).高一平行甲班采用“傳統(tǒng)教學(xué)”的教學(xué)方式授課,高一平行乙班采用“創(chuàng)新課堂”的教學(xué)方式授課,為了比較教學(xué)效果,期中考試后,分別從兩個(gè)班中各隨機(jī)抽取名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,結(jié)果如下表:(記成績(jī)不低于分者為“成績(jī)優(yōu)秀”)

分?jǐn)?shù)

甲班頻數(shù)

乙班頻數(shù)

(Ⅰ)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面的列聯(lián)表,并判斷是否有以上的把握認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”?

甲班

乙班

總計(jì)

成績(jī)優(yōu)秀

成績(jī)不優(yōu)秀

總計(jì)

(Ⅱ)現(xiàn)從上述樣本“成績(jī)不優(yōu)秀”的學(xué)生中,抽取人進(jìn)行考核,記“成績(jī)不優(yōu)秀”的乙班人數(shù)為,求的分布列和期望.

參考公式:,其中

臨界值表

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】給出以下四個(gè)說(shuō)法:

①殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關(guān)指數(shù)越小

②在刻畫(huà)回歸模型的擬合效果時(shí),相關(guān)指數(shù)的值越大,說(shuō)明擬合的效果越好;

③在回歸直線方程中,當(dāng)解釋變量每增加一個(gè)單位時(shí),預(yù)報(bào)變量平均增加個(gè)單位;

④對(duì)分類變量,若它們的隨機(jī)變量的觀測(cè)值越小,則判斷“有關(guān)系”的把握程度越大.

其中正確的說(shuō)法是

A. ①④B. ②④C. ①③D. ②③

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】CPI是居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)(consumer price index)的簡(jiǎn)稱.居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù),是一個(gè)反映居民家庭一般所購(gòu)買的消費(fèi)品價(jià)格水平變動(dòng)情況的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo).右圖是根據(jù)統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2018年1月—7月的CPI 同比增長(zhǎng)與環(huán)比增長(zhǎng)漲跌幅數(shù)據(jù)繪制的折線圖.(注:2018 年2月與2017年2月相比較,叫同比;2018年2 月與2018年1月相比較,叫環(huán)比)根據(jù)該折線圖,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )

A. 2018年1月—7月CPI 有漲有跌

B. 2018年2月—7月CPI 漲跌波動(dòng)不大,變化比較平穩(wěn)

C. 2018年1月—7月分別與2017年1月一7月相比較,1月CPI 漲幅最大

D. 2018年1月—7月分別與2017年1月一7月相比較,CPI 有漲有跌

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3,4)

(1)它在y軸上的截距是在x軸上截距的2倍,求直線l的方程.

(2)若直線l軸,軸的正半軸分別交于點(diǎn),求的面積的最小值.

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