Question

8．已知函數(shù)f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及其圖象的對稱中心坐標；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間及f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性以及圖象的對稱性，求得函數(shù)f（x）的最小正周期及其圖象的對稱中心坐標．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的增區(qū)間，再利用定義域和值域求得f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$；
令2x-$\frac{π}{6}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，可得它的其圖象的對稱中心坐標為（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，0），k∈Z．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
在[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$ 時，函數(shù)f（x）取得最小值為-1；
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為2．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性以及圖象的對稱性；還考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．