Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²-x-axlnx（a∈R），g（x）=$\frac{f（x）}{x}$．
（Ⅰ）討論g（x）的單調區(qū)間與極值；
（Ⅱ）不論a取何值，函數(shù)f（x）與g（x）總交于一定點，求證：兩函數(shù)在此點處的切線重合；
（Ⅲ）若a＜0，對于?x₁∈[1，e]，總?x₂∈[e，e²]使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得g（x）的解析式和導數(shù)，對a討論，求出單調區(qū)間和極值；
（Ⅱ）求出定點（1，0），求出f（x）、g（x）的導數(shù)和切線的斜率，即可得證；
（Ⅲ）當a＜0時，分別判斷f（x），g（x）的導數(shù)的符號，得到單調性，可得f（x），g（x）的最大值，由f（x）_max不大于g（x）_max，解a的不等式，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²-x-axlnx（a∈R），
g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=x-1-alnx，x＞0，
可得g′（x）=1-$\frac{a}{x}$，
當a≤0時，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）遞增，無極值；
當a＞0時，x＞a時g′（x）＞0，g（x）在（a，+∞）遞增；
0＜x＜a時，g′（x）＜0，g（x）在（0，a）遞減，
可得g（x）在x=a處取得極小值，且為a-1-alna，無極大值；
（Ⅱ）證明：由f（x）=x²-x-axlnx，g（x）=x-1-alnx，x＞0，
可得f（1）=g（1）=0，定點為（1，0），
f′（x）=2x-1-a（1+lnx），g′（x）=1-$\frac{a}{x}$，
可得f′（1）=2-1-a（1+ln1）=1-a，g′（1）=1-a，
即有切線的斜率相等，又它們均過定點（1，0），
則兩函數(shù)在此點處的切線重合；
（Ⅲ）當a＜0時，由f′（x）=2x-1-a（1+lnx）＞0在[1，e]恒成立，
可得f（x）在[1，e]遞增，即有f（e）取得最大值e²-e-ae；
由g′（x）=1-$\frac{a}{x}$＞0在[e，e²]恒成立，
可得g（x）在[e，e²]遞增，即有g（e²）取得最大值e²-1-2a；
由對于?x₁∈[1，e]，總?x₂∈[e，e²]使得f（x₁）≤g（x₂）成立，
可得e²-e-ae≤e²-1-2a，
解得$\frac{1-e}{e-2}$≤a＜0．
即a的范圍是[$\frac{1-e}{e-2}$，0）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調區(qū)間和極值、最值，考查恒成立和存在性問題的解法，注意運用轉化思想和分類討論思想方法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．