Question

12．某單位有男職工600名，女職工400人，在單位想了解本單位職工的運(yùn)動狀態(tài)，根據(jù)性別采取分層抽樣的方法從全體職工中抽取100人，調(diào)查他們平均每天運(yùn)動的時間（單位：小時），統(tǒng)計表明該單位職工平均每天運(yùn)動的時間范圍是[0，2]．若規(guī)定平均每天運(yùn)動的時間不少于1小時的為“運(yùn)動達(dá)人”，低于1小時的為“非運(yùn)動達(dá)人”．根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，按性別與是否為運(yùn)動達(dá)人進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下2×2列聯(lián)表．

運(yùn)動時間 性別	運(yùn)動達(dá)人	非運(yùn)動達(dá)人	合計
男	36
女		26
合計			100

（Ⅰ）請根據(jù)題目信息，將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并通過計算判斷能否在犯錯誤概率不超過0.025的前提下認(rèn)為性別與是否為運(yùn)動達(dá)人有關(guān)；
（Ⅱ）將此樣本的頻率估計為總體的概率，隨機(jī)調(diào)查該單位的3名男職工，設(shè)調(diào)查的3人中運(yùn)動達(dá)人的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）及方差D（X）．
附表及公式：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （I）計算K²，根據(jù)臨界值表作出結(jié)論；
（II）分別計算X=0，1，2，3時的概率得出分布列，根據(jù)分布列得出數(shù)學(xué)期望和方差．

解答 解：（I）由題意，該單位根據(jù)性別采取分層抽樣的方法抽取的100人中，有60人為男職工，40人為女職工，據(jù)此2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)補(bǔ)充如下．

運(yùn)動時間 性別	運(yùn)動達(dá)人	非運(yùn)動達(dá)人	合計
男	36	24	60
女	14	26	40
合計	50	50	100

…（2分）
由表中數(shù)據(jù)得觀測值K²=$\frac{100×（36×26-14×24）^{2}}{60×40×50×50}$=6＞5.024，
所以在犯錯誤概率不超過0.025的前提下，可以認(rèn)為性別與是否為運(yùn)動達(dá)人有關(guān)．…（5分）
（2）隨機(jī)調(diào)查一名男生，則這名男生為運(yùn)動達(dá)人的概率為P=$\frac{36}{60}$=$\frac{3}{5}$．
X的可能取值為0，1，2，3．
∴P（X=0）=（1-$\frac{3}{5}$）³=$\frac{8}{125}$，P（X=1）=C₃¹（$\frac{3}{5}$）（1-$\frac{3}{5}$）²=$\frac{36}{125}$，
P（X=2）=C₃²（$\frac{3}{5}$）²（1-$\frac{3}{5}$）=$\frac{54}{125}$，P（X=3）=（$\frac{3}{5}$）³=$\frac{27}{125}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

E（X）=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$．D（X）=3×$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{18}{25}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的求法，是中檔題．