Question

1．設(shè)A，B為拋物線y²=x上相異兩點(diǎn)，其縱坐標(biāo)分別為-1，2，分別以A，B為切點(diǎn)作拋物線的切線l₁，l₂，設(shè)l₁，l₂相交于點(diǎn)P．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）M為A，B間拋物線段上任意一點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PA}+μ\overrightarrow{PB}$，試判斷$\sqrt{λ}+\sqrt{μ}$是否為定值，如果為定值，求出該定值，如果不是定值，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （I）求出A，B坐標(biāo)，設(shè)切線斜率得出切線方程，聯(lián)立方程組，令判別式△=0得出斜率，從而求出切線方程，再聯(lián)立切線方程解出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（II）設(shè)M（y₀²，y₀）（-1≤y₀≤2），根據(jù)向量的基本定理列方程組解出λ，μ，計(jì)算$\sqrt{λ}+\sqrt{μ}$即可．

解答 解：（I）A（1，-1），B（4，2），
設(shè)l₁的方程為y+1=k（x-1），即y=kx-k-1，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=x}\\{y=kx-k-1}\end{array}\right.$，消元得：ky²-y-k-1=0，
∴△=1+4k（k+1）=0，解得k=-$\frac{1}{2}$．
∴l(xiāng)₁方程為：y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$．
同理可得l₂方程為：y=$\frac{1}{4}$x+1．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{4}x+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，$\frac{1}{2}$）．
（II）設(shè)M（y₀²，y₀）（-1≤y₀≤2），則$\overrightarrow{PM}$=（y₀²+2，y₀-$\frac{1}{2}$）.$\overrightarrow{PA}$=（3，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{PB}$=（6，$\frac{3}{2}$）．
∵$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PA}+μ\overrightarrow{PB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3λ+6μ={{y}_{0}}^{2}+2}\\{-\frac{3}{2}λ+\frac{3}{2}μ={y}_{0}-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．解得λ=$\frac{（{y}_{0}-2）^{2}}{9}$，μ=$\frac{（{y}_{0}+1）^{2}}{9}$．
∴$\sqrt{λ}+\sqrt{μ}$=$\frac{2-{y}_{0}}{3}$+$\frac{{y}_{0}+1}{3}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，平面向量的基本定理，屬于中檔題．