16.已知函數(shù)f(x)=cosx+$\frac{x^2}{2}$-1,g(x)=eax
(Ⅰ)當(dāng)x≥0時(shí),判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)a=1時(shí),證明:對任意x≥0,不等式g(x)≥$\frac{x^2}{2}$+x+1≥sinx-cosx+2恒成立;
(Ⅲ)若不等式eax≥sinx-cosx+2對任意的x≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求導(dǎo)數(shù),證明f'(x)=x-sinx為增函數(shù),從而可得f(x)在x≥0時(shí)為增函數(shù),即可證明當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥0;
(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別證明$\frac{x^2}{2}$+x+1≥sinx-cosx+2恒成立,設(shè)F(x)=ex-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1,得到F(x)≥F(0)=0即可;
(Ⅲ)解法一:證明以$\frac{{x}^{2}}{2}$+x+1≥sinx-cosx+2,設(shè)G(x)=ex-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1,證明G(x)為增函數(shù),所以G(x)≥G(0)=0,所以ex≥sinx-cosx+2對任意的x≥0恒成立,再分類討論,利用不等式eax≥sinx-cosx+2對任意的x≥0恒成立,即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
解法二:因?yàn)閑ax≥sinx-cosx+2等價(jià)于ax≥ln(sinx-cosx+2),設(shè)g(x)=ax-ln(sinx-cosx+2),分類討論,即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)∵f(x)=cosx+$\frac{x^2}{2}$-1,(x≥0),
則f′(x)=x-sinx,
設(shè)h(x)=x-sinx,則h′(x)=1-cosx,
當(dāng)x≥0時(shí),h′(x)=1-cosx≥0,即f′(x)為增函數(shù),
所以f′(x)≥f′(0)=0,
即f(x)在x≥0時(shí)為增函數(shù),
所以f(x)≥f(0)=0;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得x≥0時(shí),f(x)≥f(0)=0,f′(x)≥f′(0)=0,
∴sinx≤x,cosx≥-$\frac{{x}^{2}}{2}$+1,即x≥sinx,$\frac{{x}^{2}}{2}$+1≥-cosx+2,
∴x≥0時(shí),$\frac{x^2}{2}$+x+1≥sinx-cosx+2恒成立,
設(shè)F(x)=ex-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1,則F′(x)=ex-x-1,設(shè)h(x)=ex-x-1,
則h′(x)=ex-1,當(dāng)x≥0時(shí),h′(x)≥0,
∴h(x)在(0,+∞)遞增,
∴h(x)≥h(0)=0,
∴F(x)是增函數(shù),F(xiàn)(x)≥F(0)=0,
∴對任意x≥0,ex≥$\frac{x^2}{2}$+x+1≥sinx-cosx+2恒成立;
(Ⅲ)解法一:由(Ⅰ)知x≥0時(shí),sinx≤x,cosx≥-$\frac{{x}^{2}}{2}$+1,
所以$\frac{{x}^{2}}{2}$+x+1≥sinx-cosx+2,
設(shè)G(x)=ex-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1,則G'(x)=ex-x-1,
設(shè)g(x)=ex-x-1,則g'(x)=ex-1,
當(dāng)x≥0時(shí)g'(x)=ex-1≥0,所以g(x)=ex-x-1為增函數(shù),
所以g(x)≥g(0)=0,所以G(x)為增函數(shù),所以G(x)≥G(0)=0,
所以ex≥sinx-cosx+2對任意的x≥0恒成立.
又x≥0,a≥1時(shí),eax≥ex
所以a≥1時(shí)eax≥sinx-cosx+2對任意的x≥0恒成立.
當(dāng)a<1時(shí),設(shè)h(x)=eax-sinx+cosx-2,則h'(x)=aeax-cosx-sinx,h'(0)=a-1<0,
所以存在實(shí)數(shù)x0>0,使得任意x∈(0,x0),均有h'(x)<0,所以h(x)在(0,x0)為減函數(shù),
所以在x∈(0,x0)時(shí)h(x)<h(0)=0,所以a<1時(shí)不符合題意.
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+∞).
解法二:因?yàn)閑ax≥sinx-cosx+2等價(jià)于ax≥ln(sinx-cosx+2)
設(shè)g(x)=ax-ln(sinx-cosx+2),則g′(x)=a-$\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx+2}$,
可求 $\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx+2}$∈[-1,1],
所以當(dāng)a≥1時(shí),g′(x)≥0恒成立,g(x)在[0,+∞)是增函數(shù),
所以g(x)≥g(0)=0,即ax≥ln(sinx-cosx+2),即eax≥sinx-cosx+2
所以a≥1時(shí),eax≥sinx-cosx+2對任意x≥0恒成立.
當(dāng)a<1時(shí),一定存在x0>0,滿足在(0,x0)時(shí),g'(x)<0,
所以g(x)在(0,x0)是減函數(shù),此時(shí)一定有g(shù)(x)<g(0)=0,
即ax<ln(sinx-cosx+2),即eax<sinx-cosx+2,不符合題意,故a<1不能滿足題意,
綜上所述,a≥1時(shí),eax≥sinx-cosx+2對任意x≥0恒成立.

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)恒成立問題,考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,考查學(xué)生分析解決問題的能力,難度大.

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