Question

16．已知函數(shù)f（x）=cosx+$\frac{x^2}{2}$-1，g（x）=e^ax．
（Ⅰ）當(dāng)x≥0時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，證明：對(duì)任意x≥0，不等式g（x）≥$\frac{x^2}{2}$+x+1≥sinx-cosx+2恒成立；
（Ⅲ）若不等式e^ax≥sinx-cosx+2對(duì)任意的x≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，證明f'（x）=x-sinx為增函數(shù)，從而可得f（x）在x≥0時(shí)為增函數(shù)，即可證明當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別證明$\frac{x^2}{2}$+x+1≥sinx-cosx+2恒成立，設(shè)F（x）=e^x-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1，得到F（x）≥F（0）=0即可；
（Ⅲ）解法一：證明以$\frac{{x}^{2}}{2}$+x+1≥sinx-cosx+2，設(shè)G（x）=e^x-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1，證明G（x）為增函數(shù)，所以G（x）≥G（0）=0，所以e^x≥sinx-cosx+2對(duì)任意的x≥0恒成立，再分類討論，利用不等式e^ax≥sinx-cosx+2對(duì)任意的x≥0恒成立，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
解法二：因?yàn)閑^ax≥sinx-cosx+2等價(jià)于ax≥ln（sinx-cosx+2），設(shè)g（x）=ax-ln（sinx-cosx+2），分類討論，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=cosx+$\frac{x^2}{2}$-1，（x≥0），
則f′（x）=x-sinx，
設(shè)h（x）=x-sinx，則h′（x）=1-cosx，
當(dāng)x≥0時(shí)，h′（x）=1-cosx≥0，即f′（x）為增函數(shù)，
所以f′（x）≥f′（0）=0，
即f（x）在x≥0時(shí)為增函數(shù)，
所以f（x）≥f（0）=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得x≥0時(shí)，f（x）≥f（0）=0，f′（x）≥f′（0）=0，
∴sinx≤x，cosx≥-$\frac{{x}^{2}}{2}$+1，即x≥sinx，$\frac{{x}^{2}}{2}$+1≥-cosx+2，
∴x≥0時(shí)，$\frac{x^2}{2}$+x+1≥sinx-cosx+2恒成立，
設(shè)F（x）=e^x-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1，則F′（x）=e^x-x-1，設(shè)h（x）=e^x-x-1，
則h′（x）=e^x-1，當(dāng)x≥0時(shí)，h′（x）≥0，
∴h（x）在（0，+∞）遞增，
∴h（x）≥h（0）=0，
∴F（x）是增函數(shù)，F(xiàn)（x）≥F（0）=0，
∴對(duì)任意x≥0，e^x≥$\frac{x^2}{2}$+x+1≥sinx-cosx+2恒成立；
（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）知x≥0時(shí)，sinx≤x，cosx≥-$\frac{{x}^{2}}{2}$+1，
所以$\frac{{x}^{2}}{2}$+x+1≥sinx-cosx+2，
設(shè)G（x）=e^x-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1，則G'（x）=e^x-x-1，
設(shè)g（x）=e^x-x-1，則g'（x）=e^x-1，
當(dāng)x≥0時(shí)g'（x）=e^x-1≥0，所以g（x）=e^x-x-1為增函數(shù)，
所以g（x）≥g（0）=0，所以G（x）為增函數(shù)，所以G（x）≥G（0）=0，
所以e^x≥sinx-cosx+2對(duì)任意的x≥0恒成立．
又x≥0，a≥1時(shí)，e^ax≥e^x，
所以a≥1時(shí)e^ax≥sinx-cosx+2對(duì)任意的x≥0恒成立．
當(dāng)a＜1時(shí)，設(shè)h（x）=e^ax-sinx+cosx-2，則h'（x）=ae^ax-cosx-sinx，h'（0）=a-1＜0，
所以存在實(shí)數(shù)x₀＞0，使得任意x∈（0，x₀），均有h'（x）＜0，所以h（x）在（0，x₀）為減函數(shù)，
所以在x∈（0，x₀）時(shí)h（x）＜h（0）=0，所以a＜1時(shí)不符合題意．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．
解法二：因?yàn)閑^ax≥sinx-cosx+2等價(jià)于ax≥ln（sinx-cosx+2）
設(shè)g（x）=ax-ln（sinx-cosx+2），則g′（x）=a-$\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx+2}$，
可求 $\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx+2}$∈[-1，1]，
所以當(dāng)a≥1時(shí)，g′（x）≥0恒成立，g（x）在[0，+∞）是增函數(shù)，
所以g（x）≥g（0）=0，即ax≥ln（sinx-cosx+2），即e^ax≥sinx-cosx+2
所以a≥1時(shí)，e^ax≥sinx-cosx+2對(duì)任意x≥0恒成立．
當(dāng)a＜1時(shí)，一定存在x₀＞0，滿足在（0，x₀）時(shí)，g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，x₀）是減函數(shù)，此時(shí)一定有g(shù)（x）＜g（0）=0，
即ax＜ln（sinx-cosx+2），即e^ax＜sinx-cosx+2，不符合題意，故a＜1不能滿足題意，
綜上所述，a≥1時(shí)，e^ax≥sinx-cosx+2對(duì)任意x≥0恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．