Question

4．若直線y=x+b與曲線$y=3-\sqrt{4x-{x^2}}$有2個不同的公共點，則實數(shù)b的取值范圍是（1-2$\sqrt{2}$，-1]．

Answer 1

分析 結(jié)合圖象通過討論直線y=x+b的位置，求出b的范圍即可．

解答 解：曲線方程變形為（x-2）²+（y-3）²=4，表示圓心A為（2，3），半徑為2的下半圓，
根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
，
當(dāng)直線y=x+b過B（4，3）時，將B坐標(biāo)代入直線方程得：3=4+b，即b=-1；
當(dāng)直線y=x+b與半圓相切時，圓心A到直線的距離d=r，
即$\frac{|b-1|}{\sqrt{2}}$=2，即b-1=2$\sqrt{2}$（不合題意舍去）或b-1=-2$\sqrt{2}$，
解得：b=1-2$\sqrt{2}$，
則直線與曲線有兩個公共點時b的范圍為1-2$\sqrt{2}$＜b≤-1．
故答案為：1-2$\sqrt{2}$＜b≤-1．

點評 本題考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．