【題目】已知?jiǎng)又本l過拋物線Cy24x的焦點(diǎn)F,且與拋物線C交于M,N兩點(diǎn),且點(diǎn)Mx軸上方.

1)若線段MN的垂直平分線交x軸于點(diǎn)Q,若|FQ|8,求直線l的斜率;

2)設(shè)點(diǎn)Px0,0),若點(diǎn)M恒在以FP為直徑的圓外,求x0的取值范圍.

【答案】1;(2x0∈[0,1)∪(1,9).

【解析】

1)由題意可得直線l的斜率存在且不為0,設(shè)l的方程與拋物線聯(lián)立,求出兩根之和及兩根之積,進(jìn)而可得MN的中點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可得MN的中垂線方程,令y0可得Q的坐標(biāo),進(jìn)而求出|QF|的值,由題意可得直線l的斜率;

2)由題意可得∠FMP為銳角,等價(jià)于0,求出的表達(dá)式,換元等價(jià)于ht)=t2+3x04+x0,t0恒成立,分兩種情況求出x0 取值范圍.

1)由題意可得直線l的斜率存在且不為0,設(shè)直線l的方程為:xty+1,設(shè)Mx1,y1),Nx2,y2),線段MN的最大Ex0,y0),

聯(lián)立直線與拋物線的方程可得:,

整理可得y24ty40,

所以y1+y24ty1y2=﹣4

所以y02t,x0ty0+12t2+1,即E2t2+1,2t),

故線段MN的中垂線方程為:y2t=﹣tx2t21),

y0,則Q2t2+30),

所以|FQ||22+31|8

解得t

所以直線l的斜率k;

2)點(diǎn)M恒在以FP為直徑的圓外,則∠FMP為銳角,等價(jià)于0

設(shè)M,y1),F1,0),Px0,0),

x0,﹣y1),1,﹣y1),

x0)(1+y121x00恒成立,

t,t0,原式等價(jià)于t2+3t+1tx00對(duì)任意t0恒成立,

t2+3x04+x00對(duì)任意t0恒成立,

ht)=t2+3x04+x0,t0,

△=(3x024x00,即1x09,

,解得0x01,又因?yàn)?/span>x01,故x0∈[0,1),

綜上所述x0∈[0,1)∪(1,9).

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A、兩點(diǎn)間的距離為;

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