Question

【題目】已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù).

（1）求實數(shù)的值并判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）.

【解析】分析：（1）由奇函數(shù)可得，解得，經(jīng)檢驗，當時，函數(shù)為奇函數(shù)；設且，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可證明，從而可得結果；（2）結合函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性可得，當時，不等式恒成立，等價于對恒成立，換元后，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組求解即可.

詳解：（1）解法一：∵函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，

∴，解得.

經(jīng)檢驗，當時，函數(shù)為奇函數(shù)，即所求實數(shù)的值為.

∵ ，

在上恒成立，所以是上的減函數(shù).

解法二：∵函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，

∴，解得.

經(jīng)檢驗，當時，函數(shù)為奇函數(shù)，即所求實數(shù)的值為.

設且，

則

，

∵，∴，，

∴，即，

所以是上的減函數(shù).

（2）由，可得.

∵是上的奇函數(shù)，∴，

又是上的減函數(shù)，

所以對恒成立，

令，∵，∴，

∴對恒成立，

令，，

∴，解得，

所以實數(shù)的取值范圍為.