【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】試題分析:(1)根據(jù)題設(shè)條件可以得出AB⊥AP,CD⊥PD.而AB//CD,就可證明出AB⊥平面PAD.
進(jìn)而證明出平面PAB⊥平面PAD.(2)先找出AD中點(diǎn),找出相互垂直的線,建立以為坐標(biāo)原點(diǎn), 的方向?yàn)?/span>軸正方向, 為單位長(zhǎng)的空間直角坐標(biāo)系,列出所需要的點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)是平面的法向量, 是平面的法向量,根據(jù)垂直關(guān)系,求出和,利用數(shù)量積公式可求出二面角的平面角.
試題解析:(1)由已知,得AB⊥AP,CD⊥PD.
由于AB∥CD,故AB⊥PD,從而AB⊥平面PAD.
又AB 平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)在平面內(nèi)做,垂足為,
由(1)可知, 平面,故,可得平面.
以為坐標(biāo)原點(diǎn), 的方向?yàn)?/span>軸正方向, 為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
由(1)及已知可得, , , .
所以, , , .
設(shè)是平面的法向量,則
,即,
可取.
設(shè)是平面的法向量,則
,即,
可取.
則,
所以二面角的余弦值為.
點(diǎn)睛:高考對(duì)空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:①求異面直線所成的角,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角;②求直線與平面所成的角,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角;③求二面角,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標(biāo)系和表示出所需點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】旅行社為某旅行團(tuán)包飛機(jī)去旅游,其中旅行社的包機(jī)費(fèi)為元.旅行團(tuán)中的每個(gè)人的飛機(jī)票按以下方式與旅行社結(jié)算:若旅行團(tuán)的人數(shù)不超過人時(shí),飛機(jī)票每張收費(fèi)元;若旅行團(tuán)的人數(shù)多于人時(shí),則予以優(yōu)惠,每多人,每個(gè)人的機(jī)票費(fèi)減少元,但旅行團(tuán)的人數(shù)最多不超過人.設(shè)旅行團(tuán)的人數(shù)為人,飛機(jī)票價(jià)格元,旅行社的利潤(rùn)為元.
(1)寫出飛機(jī)票價(jià)格元與旅行團(tuán)人數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)旅行團(tuán)人數(shù)為多少時(shí),旅行社可獲得最大利潤(rùn)?求出最大利潤(rùn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的漸近線方程為,左焦點(diǎn)為F,過的直線為,原點(diǎn)到直線的距離是
(1)求雙曲線的方程;
(2)已知直線交雙曲線于不同的兩點(diǎn)C,D,問是否存在實(shí)數(shù),使得以CD為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)F。若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
(1)求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;
(2)直線過已知拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為45°,且與拋物線的交點(diǎn)為,求的長(zhǎng)度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的空間幾何體中,四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形, 平面, , , , .
(1)求證:平面平面;
(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ln23x﹣2a(x+3ln3x)+10a2 , 若存在x0使得 成立,則實(shí)數(shù)a的值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】朱載堉(1536~1611),是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學(xué)家和天文歷算家,他的著作《律學(xué)新說》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一組音(八度)分成十二個(gè)半音音程的律制,各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等,亦稱“十二等程律”.即一個(gè)八度13個(gè)音,相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等,且最后一個(gè)音是最初那個(gè)音的頻率的2倍.設(shè)第三個(gè)音的頻率為,第七個(gè)音的頻率為,則=
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)列{an}中,a1=,其前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=an+1- (n∈N*).
(1)求an,Sn;
(2)設(shè)bn=log2(2Sn+1)-2,數(shù)列{cn}滿足cn·bn+3·bn+4=1+(n+1)(n+2)·2bn,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,求使4Tn>2n+1-成立的最小正整數(shù)n的值.
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