Question

11．已知拋物線y²=2px（p＞0）上一點M（1，m）到其焦點的距離為4，雙曲線x²-$\frac{y^2}{a}$=1的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直，則實數(shù)a的值為（　�。�

• A． $-\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． -3
• D． 3

Answer 1

分析 利用拋物線的定義可得：1+$\frac{p}{2}$=4，解得p．把M（1，m）代入拋物線方程可得m．由雙曲線x²-$\frac{y^2}{a}$=1，可得左頂點為A（-1，0）．取漸近線y=-$\frac{\sqrt{a}}{1}$x與AM垂直，利用相互垂直的直線斜率之間的關系即可得出．

解答 解：由題意可得：1+$\frac{p}{2}$=4，解得p=6．
∴拋物線方程為：y²=12x．
把M（1，m）代入拋物線方程可得：m²=12，解得m=$±2\sqrt{3}$．
由雙曲線x²-$\frac{y^2}{a}$=1，可得左頂點為A（-1，0）．
不妨取M$（1，2\sqrt{3}）$，可得k_AM=$\frac{2\sqrt{3}}{1+1}$=$\sqrt{3}$，
∵漸近線y=-$\frac{\sqrt{a}}{1}$x與AM垂直，∴$-\sqrt{a}$×$\sqrt{3}$=-1，
解得a=$\frac{1}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查了拋物線與雙曲線的定義標準方程及其性質、相互垂直的直線斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．