Question

14．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=2，且4S₁，3S₂，2S₃成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=|2n-5|•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)4S₁，3S₂，2S₃成等差數(shù)列．根據(jù)等差中項(xiàng)6S₂=4S₁+2S₃，化簡整理求得q=2，寫出通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）討論當(dāng)n=1、2時(shí)，求得T₁=6，T₂=10，寫出前n項(xiàng)和，采用錯(cuò)位相減法求得T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵4S₁，3S₂，2S₃成等差數(shù)列，
∴6S₂=4S₁+2S₃，
即6（a₁+a₂）=4a₁+2（a₁+a₂+a₃），
則：a₃=2a₂，q=2，
∴${a}_{n}={2}^{n}$；
（Ⅱ）當(dāng)n=1，2時(shí)，T₁=6，T₂=10，
當(dāng)n≥3，T_n=10+1×2³+3×2⁴+…+（2n-5）•2ⁿ，
2T_n=20+1×2⁴+3×2⁵+…+（2n-7）×2ⁿ+（2n-5）×2ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-T_n=-10+8+2（2⁴+2⁵+…+2ⁿ）-（2n-5）×2ⁿ⁺¹，
=-2+2×$\frac{{2}^{4}（1-{2}^{n-3}）}{1-2}$-（2n-5）×2ⁿ⁺¹，
=-34+（7-2n）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=34-（7-2n）•2ⁿ⁺¹．
∴${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{6}&{n=1}\\{10}&{n=2}\\{34-（7-2n）•{2}^{n+1}}&{n≥3}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和采用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和，屬于中檔題．