Question

6．如圖，正四棱錐P-ABCD的底面一邊AB長為$2\sqrt{3}cm$，側(cè)面積為$8\sqrt{3}c{m^2}$，則它的體積為4．

Answer 1

分析 作出棱錐的高PO，則O為底面中心，作OE⊥AB于E，根據(jù)側(cè)面積計(jì)算PE，利用勾股定理計(jì)算PO，帶入體積公式計(jì)算體積．

解答 解：過P作底面ABCD的垂線PO，則O為底面正方形ABCD的中心，
過O作OE⊥AB于E，連結(jié)PE．則OE=$\frac{1}{2}AB$=$\sqrt{3}$．
∵PO⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PO⊥AB，
又AB⊥OB，PO?平面POE，OE?平面POE，PO∩OE=O，
∴AB⊥平面POE，∵PE?平面POE，
∴AB⊥PE．
∴正四棱錐的側(cè)面積S_側(cè)=4S_△PAB=4×$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×PE$=8$\sqrt{3}$，
解得PE=2．
∴PO=$\sqrt{P{E}^{2}-O{E}^{2}}$=1．
∴正四棱錐的體積V=$\frac{1}{3}$S_{正方形ABCD}•PO=$\frac{1}{3}×$（2$\sqrt{3}$）²×1=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，棱錐的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．