Question

3．已知{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，a₁，a₅，a₂₅成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=2^a_n+a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的性質求出公差，由此能求出a_n=n；
（2）由b_n=2^a_n+a_n，${b_n}={2^n}+n$，則可求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）∵a₁，a₅，a₂₅成等比數(shù)列，
∴$a_5^2={a_1}{a_{25}}$．
則${（{a_1}+4d）^2}={a_1}（{a_1}+24d）$，d=1
∴a₁=1
∴a_n=n；
（2）${b_n}={2^n}+n$，
${T_n}=（{2^1}+{2^2}+…+{2^n}）+（1+2+3+…+n）$，
=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}+\frac{n（n+1）}{2}$，
=$2（{2^n}-1）+\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的項數(shù)n的求法，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質的靈活運用．