Question

17．在△ABC中，D在線段BC上，△ABD是正三角形，且線段CD，AD，AC的長成等差數(shù)列．
（I）求△ABC最大內(nèi)角的余弦值；
（Ⅱ）若△ACD的內(nèi)切圓面積為3π，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （I）由線段CD，AD，AC的長成等差數(shù)列，可得2AD=CD+AC．設(shè)AD=a，CD=x，AC=2a-x，∠CAD=θ，θ為銳角，由余弦定理可得：cosθ=$\frac{5a-4x}{4a-2x}$，sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$，cos（60°+θ）=$\frac{2a-3x}{2a-x}$，利用和差公式化為：9a²-30ax+25x²=0，解得x，即可得出．
（II）△ACD的內(nèi)切圓面積為3π，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r．可得r=$\sqrt{3}$．利用$\frac{1}{2}×\sqrt{3}$×3a=$\frac{1}{2}×a（2a-\frac{3}{5}a）$sinθ，解得a．△ABC的面積S=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$．

解答 解：（I）∵線段CD，AD，AC的長成等差數(shù)列，∴2AD=CD+AC．
設(shè)AD=a，CD=x，AC=2a-x，∠CAD=θ，θ為銳角，
由余弦定理可得：cosθ=$\frac{{a}^{2}+（2a-x）^{2}-{x}^{2}}{2a（2a-x）}$=$\frac{5a-4x}{4a-2x}$，∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{（9a-6x）（2x-a）}}{4a-2x}$，
cos（60°+θ）=$\frac{{a}^{2}+（2a-x）^{2}-（a+x）^{2}}{2a（2a-x）}$=$\frac{2a-3x}{2a-x}$，
∴$\frac{2a-3x}{2a-x}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{5a-4x}{4a-2x}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{（9a-6x）（2x-a）}}{4a-2x}$，
化為：9a²-30ax+25x²=0，
解得x=$\frac{3}{5}$a．
∴cos（60°+θ）=$\frac{2a-3×\frac{3}{5}a}{2a-\frac{3}{5}a}$=$\frac{4}{7}$．
（II）∵△ACD的內(nèi)切圓面積為3π，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r．
∴πr²=3π，解得r=$\sqrt{3}$．
∴$\frac{1}{2}×\sqrt{3}$×3a=$\frac{1}{2}×a（2a-\frac{3}{5}a）$sinθ，
∴$3\sqrt{3}$=$\frac{7}{5}$a×$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
解得a=30．
∴△ABC的面積S=$\frac{\sqrt{3}}{4}×3{0}^{2}$=225$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了余弦定理、和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角形內(nèi)切圓的面積、等邊三角形的性質(zhì)及其面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．