Question

16．若函數(shù)f（x）=$\sqrt{\frac{6}{x+1}-1}$的定義域為集合A，函數(shù)g（x）=lg（-x²+2x+3）的定義域為集合B．
（1）求A∩（∁_RB）；
（2）若集合C={x|2m-1＜x＜m+1}，且B∩C=C，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）=$\sqrt{\frac{6}{x+1}-1}$的定義域求出集合A，根據(jù)函數(shù)g（x）=lg（-x²+2x+3）的定義域求出集合B，再求A∩（∁_RB）的集合．
（2）集合C={x|2m-1＜x＜m+1}，且B∩C=C，說明：C⊆B（同時注意C可以是空集）．從而求實數(shù)m的取值范圍．

解答 【解】（1）對函數(shù)f（x）=$\sqrt{\frac{6}{x+1}-1}=\sqrt{\frac{5-x}{x+1}}$，由$\frac{5-x}{x+1}≥0$，且x+1≠0，
解得：-1＜x≤5．
那么：集合A={x|：-1＜x≤5}
對函數(shù)g（x）=lg（-x²+2x+3），由-x²+2x+3＞0，
解得：-1＜x＜3
那么：集合B={x|：-1＜x＜3}．
則：∁_RB={x|x≥3或x≤-1}
所以：A∩（∁_RB）={x|3≤x≤5}
（2）集合C={x|2m-1＜x＜m+1}，
∵B∩C=C，
∴C⊆B
當C=∅時，2m-1≥m+1，解得：m≥2
當C≠∅時，要使C⊆B，需要$\left\{\begin{array}{l}{2m-1＜m+1}\\{m+1≤3}\\{2m-1≥-1}\end{array}\right.$，解得：0≤m＜2
綜上所述：實數(shù)m的取值范圍是[0，+∞）

點評 本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．