Question

設(shè)全集U=R，集合A={x||2x-1|+|x-2|＜3}，B={y|y=x³-x²，x∈A}，求（∁_UA）∩B．

Answer 1

考點(diǎn)：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

專題：集合

分析：通過討論x的范圍，解不等式從而求出集合A，通過求導(dǎo)得到y(tǒng)=x³-x²的單調(diào)性，從而求出集合B，進(jìn)而求出（∁_UA）∩B．

解答： 解：當(dāng)x＜

1

2

時(shí)，原不等式變形為1-2x+2-x＜3，解得x＞0，
∴0＜x＜

1

2

，
當(dāng)

1

2

≤x≤2時(shí)，原不等式變形為2x-1+2-x＜3，解得x＜2，
∴

1

2

≤x＜2，
當(dāng)x≥2時(shí)，原不等式變形為2x-1+x-2＜3，解得x＜2，
∴x∈∅，
綜上，A={x|0＜x＜2}，
由y′=（x³-x²）′=3x²-2x=0，
解得：x=0或x=

2

3

，
當(dāng)x∈（0，

2

3

）時(shí)，y′＜0；x∈（

2

3

，2）時(shí)，y′＞0，
∴y=x³-x²，x∈A={x|0＜x＜2}在（0，

2

3

）單減，在（

2

3

，2）單增．
∴y∈[-

4

27

，4），即B={y|-

4

27

≤y＜4}，
∴（∁_UA）∩B={x|-

4

27

≤x≤0或2≤x＜4}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了集合的運(yùn)算，考查了分類討論思想，函數(shù)的單調(diào)性，是一道中檔題．