Question

12．已知f（x）=sinx-cosx+1，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求f（x）的遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得最大值，
（2）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

解答 解：（1）f（x）=sinx-cosx+1，x∈R．
化簡(jiǎn)得：f（x）=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）+1 
函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{1}=2π$．
∵sin（x-$\frac{π}{4}$）的最大值為1，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）+1的最大值為$\sqrt{2}+1$，
即y_max=$\sqrt{2}+1$．
   （2）三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：（x$-\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]是單調(diào)遞增區(qū)間，即-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x$-\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
解得：-$\frac{π}{4}$+2kπ≤x≤$\frac{3π}{4}$+2kπ，
故得x∈[-$\frac{π}{4}$+2kπ，$\frac{3π}{4}$+2kπ]，k∈Z，是函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間，

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．