Question

7．如圖所示，由若干個點(diǎn)組成形如三角形的圖形，每條邊（包括兩個端點(diǎn)）有n（n＞1，n∈N）個點(diǎn)，每個圖形總的點(diǎn)數(shù)記為a_n，則a₆=15；$\frac{9}{{{a_2}{a_3}}}$+$\frac{9}{{{a_3}{a_4}}}$+$\frac{9}{{{a_4}{a_5}}}$+…+$\frac{9}{{{a_{2015}}{a_{2016}}}}$=$\frac{2014}{2015}$．

Answer 1

分析 根據(jù)圖象的規(guī)律可得出通項(xiàng)公式a_n，根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)可用列項(xiàng)法求其前n項(xiàng)和的公式，而$\frac{9}{{{a_2}{a_3}}}$+$\frac{9}{{{a_3}{a_4}}}$+$\frac{9}{{{a_4}{a_5}}}$+…+$\frac{9}{{{a_{2015}}{a_{2016}}}}$是前2014項(xiàng)的和，代入前n項(xiàng)和公式即可得到答案．

解答 解：每個邊有n個點(diǎn)，把每個邊的點(diǎn)數(shù)相加得3n，這樣角上的點(diǎn)數(shù)被重復(fù)計算了一次，故第n個圖形的點(diǎn)數(shù)為3n-3，即a_n=3n-3，∴a₆=15；
令S_n=$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{2014×2015}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$=$\frac{2014}{2015}$．
故答案為15；$\frac{2014}{2015}$

點(diǎn)評 本題主要考查簡單的和清推理，求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和用裂項(xiàng)法對數(shù)列進(jìn)行求和問題，同時考查了計算能力，屬中檔題．