Question

7．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1（x∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）若A是銳角△ABC的一個內角，且滿足f（A）=$\frac{2}{3}$，求sin2A的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調遞減區(qū)間；
（2）根據f（A）=$\frac{2}{3}$，求解出A角的關系式，利用構造思想結合和與差的公式求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1（x∈R）
化簡可得：f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
（1）由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z
得$kπ+\frac{π}{6}$≤x≤$kπ+\frac{2π}{3}$，
∴函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間為得[$kπ+\frac{π}{6}$，$kπ+\frac{2π}{3}$]，k∈Z
（2）∵f（A）=$\frac{2}{3}$，即2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，
可得sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$＞sin$\frac{5π}{6}$＞0
∵0＜A＜$\frac{π}{2}$
∴2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{5π}{6}$，π），
可是cos（2A+$\frac{π}{6}$）=$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$
那么sin2A=sin[（2A+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（2A+$\frac{π}{6}$）cos（$\frac{π}{6}$）-cos（2A+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．同時考查了和與差公式的運用，構造的思想．屬于中檔題．