Question

【題目】已知，，對(duì)任意，有成立.

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求正整數(shù)，使得對(duì)任意，恒成立；

（3）設(shè)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)任意均有恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1） （2）或 （3）

【解析】

（1）由可得,結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得到的關(guān)系式,再結(jié)合可證明數(shù)列是等比數(shù)列,進(jìn)而可求出通項(xiàng)公式;

（2）將兩端同時(shí)除以,可得到,從而可證明數(shù)列是等差數(shù)列,即可求出的表達(dá)式,進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式,通過(guò)判斷其表達(dá)式特點(diǎn),可求出滿(mǎn)足題意的正整數(shù);

（3）由題得,,利用裂項(xiàng)相消求和法可求出,結(jié)合不等式的性質(zhì),可求出的最小值.

（1）由題可得,則,

當(dāng)時(shí),可得.

時(shí),,則,即,

故數(shù)列是以2為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列,通項(xiàng)公式為.

（2）,等式兩端同時(shí)除以得:,即,

故是以為首項(xiàng),公差為的等差數(shù)列,通項(xiàng)公式為,

則.

因?yàn)楫?dāng)，，當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)或時(shí),取最大值,對(duì)任意，恒成立.

（3）由題意,,

則,故.

所以的最小值為.