Question

【題目】給定正整數(shù)，已知用克數(shù)都是正整數(shù)的塊砝碼和一臺(tái)天平可以稱(chēng)出質(zhì)量為克的所有物品．

（1）求的最小值；

（2）當(dāng)且僅當(dāng)取什么值時(shí)，上述塊砝碼的組成方式是惟一確定的？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）設(shè)這塊砝碼的質(zhì)量數(shù)分別為，且．因?yàn)樘炱絻啥硕伎梢苑彭来a，故可稱(chēng)質(zhì)量為．若利用這塊砝碼可以稱(chēng)出質(zhì)量為的

物品，則上述表示式中含有，由對(duì)稱(chēng)性易知也含有，即

．

所以， ．即．

設(shè)，則．

且時(shí)，可取．

由數(shù)的三進(jìn)制表示可知，對(duì)任意，都有，其中．

則 ．

令，則．

故對(duì)一切的整數(shù)，都有，其中．

由于，因此，對(duì)一切的整數(shù)，也有上述表示．

綜上，可知的最小值．

（2）Ⅰ當(dāng)時(shí)，由（1）可知就是一種砝碼的組成方式．下面我們證明也是一種方式．

若，由（1）可知，則；

若，則．

由（1）可知，其中．

易知，．（否則矛盾）則．

所以，當(dāng)時(shí)，塊砝碼的組成方式不惟一．

Ⅱ．下面我們證明：當(dāng)時(shí)，塊砝碼的組成方式是惟一的，即．

若對(duì)每個(gè)，都有，即

．

注意左邊集合中至多有個(gè)元素，故必有 ．

從而，對(duì)每個(gè)，，都可以惟一地表示為，其中．

因而，，則．

令，則．

由上可知，對(duì)每個(gè)，都可以惟一地表示為，其中．

特別地，易知．

下面用歸納法證明．

當(dāng)時(shí)，易知中最小的正整數(shù)是，故．

假設(shè)當(dāng)時(shí)，．

由于就是數(shù)的三進(jìn)制表示，易知它們正好是，故應(yīng)是除上述表示外中最小的數(shù)，因此，．

由歸納法可知，．

綜合Ⅰ，Ⅱ可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述塊砝碼的組成方式是惟一確定的．