Question

19．已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，當(dāng)x∈（0，1）且x₁≠x₂時(shí)，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，給出下列命題：
①f（1）=0；
②f（x）在[-2，2]上有3個(gè)零點(diǎn)；
③點(diǎn)（2014，0）是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心；
④直線x=2014是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸．
則正確的是①③．

Answer 1

分析 根據(jù)已知，分析出函數(shù)的周期和單調(diào)性，進(jìn)而畫出滿足條件的函數(shù)的草圖，逐一分析四個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：∵對(duì)?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，
∴對(duì)?x∈R都有f（x+2）=f（x）成立，
即函數(shù)y=f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
∴f（1）=f（-1）．
∵當(dāng)x∈（0，1]且x₁≠x₂時(shí)，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，
∴在區(qū)間（0，1]上函數(shù)為減函數(shù)．
又∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（1）=-f（-1）．
∴f（1）=0，即①正確；
滿足條件的函數(shù)y=f（x）的草圖如下所示：

由圖可知：
f（x）在[-2，2]上有：-2，-1，0，1，2，共5個(gè)零點(diǎn)，即②錯(cuò)誤；
所有（k，0）（k∈Z）點(diǎn)均為函數(shù)的對(duì)稱中心，
故（3）（2014，0）是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心，③正確；
函數(shù)y=f（x）圖象無對(duì)稱軸，故④錯(cuò)誤；
則正確命題個(gè)數(shù)是①③，
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的周期性，函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．