Question

已知等比數(shù)列{x_n}的各項(xiàng)為不等于1的正數(shù)，數(shù)列{y_n}滿足y_n=2log_ax_n（a＞0且a≠1），設(shè)y₃=19，y₆=13．
（Ⅰ）求數(shù)列{y_n}的前多少項(xiàng)之和為最大，最大值為多少？
（Ⅱ）設(shè)b_n=2 yn，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（Ⅲ）試判斷，是否存在正整數(shù)M，使得當(dāng)n＞M時(shí)，x_n＞1恒成立？若存在，求出相應(yīng)的M值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出y_n-1-y_n=2log_aq為常數(shù)，從而求出{y_n}是首項(xiàng)為23，公差為-2的等差數(shù)列，進(jìn)而求出y_n=23+（n-1）•（-2）=25-2n，設(shè){y_n}的前n項(xiàng)和為T_n，T_n=-n²+24n=-（n-12）²+144，由此求出當(dāng)n=12時(shí)，前12項(xiàng)和最大，最大值為144．
（Ⅱ）b_n=2yn=2^25-2n，由此能求出S_n=b₁+b₂+…+b_n=

225

3

（1-

1

4n

）．
（Ⅲ）由y_n=2log_ax_n，得x_n=a

yn

2

，由此能求出a＞1時(shí)，不存在正整數(shù)M，使得n＞M時(shí)，x_n＞1恒成立．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{x_n}的公比為q，則xn=x1qn-1，
∴y_n=2log_ax_n=2logax1qn-1=2log_ax₁+2（n-1）log_aq，
∴y_n-1-y_n=2log_ax₁+2nlog_aq-[2log_ax₁+2（n-1）log_aq]=2log_aq為常數(shù)，
∴{y_n}是等差數(shù)列，
設(shè)公差為d，由

y3=y1+2d=19 y6=y1+5d=13

，解得y₁=23，d=-2，
∴y_n=23+（n-1）•（-2）=25-2n，
設(shè){y_n}的前n項(xiàng)和為T_n，
T_n=

n(23+25-2n)

2

=-n²+24n
=-（n-12）²+144，
∴當(dāng)n=12時(shí)，前12項(xiàng)和最大，最大值為144．
（Ⅱ）∵b_n=2yn=2^25-2n，
∴

bn+1

bn

=

1

4

，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

223(1- 1 4n )

1- 1 4

=

225

3

（1-

1

4n

）．
（Ⅲ）∵y_n=2log_ax_n，∴x_n=a

yn

2

，
又∵y_n=25-2n，∴n＞12時(shí)，y_n＜0恒成立，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a

yn

2

=a12.5-n，
在R上是減函數(shù)，為此當(dāng)n＞12時(shí)，xn=a

yn

2

=a^12.5-n＜a⁰=1，
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，存在M=12，使得當(dāng)n＞M時(shí)，x_n＞1恒成立；
當(dāng)a＞1時(shí)，不存在正整數(shù)M，使得n＞M時(shí)，x_n＞1恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和最大值的求法，考查滿足條件的正整數(shù)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．