Question

13．已知函數(shù)g（x）=（2-a）lnx，h（x）=lnx+ax²（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x）
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)-3＜a＜-2時(shí)，若對(duì)任意λ₁，λ₂∈[1，3]，使得|f（λ₁）-f（λ₂）|＜（m+ln3）a-2ln3恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)f（x）求導(dǎo)，判斷單調(diào)性求極值；
（Ⅱ）當(dāng)-3＜a＜-2時(shí)，使不等式恒成立即求f（x）的最值，轉(zhuǎn)化為f（λ₁）-f（λ₂）|_max＜（m+ln3）a-2ln3，然后求m 范圍．

解答 解：（Ⅰ）依題意，${h^'}（x）=\frac{1}{x}+2ax$，所以$f（x）=（2-a）lnx+\frac{1}{x}+2ax$，其定義域?yàn)椋?，+∞）
當(dāng)a=0時(shí)，$f（x）=2lnx+\frac{1}{x}$，${f^'}（x）=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{2x-1}{x^2}$
令f′（x）=0，解得：$x=\frac{1}{2}$，當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)$x＞\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＞0
所以當(dāng) $x=\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）有極小值$f（\frac{1}{2}）=2-ln2$，無(wú)極大值．
（Ⅱ） ${f^'}（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{1}{x^2}+2a=\frac{{2a{x^2}+（2-a）x-1}}{x^2}=\frac{{a（2x-1）（x+\frac{1}{a}）}}{x^2}$，x＞0
當(dāng)-3＜a＜-2時(shí)，$\frac{1}{3}＜-\frac{1}{a}＜\frac{1}{2}$，故當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在[1，3]
單調(diào)遞減，此時(shí) f（x）_max=f（1）=2a+1，$f{（x）_{min}}=f（3）=（2-a）ln3+\frac{1}{3}+6a$
$|f（{λ_1}）-f（{λ_2}）{|_{max}}=f（1）-f（3）=（1+2a）-[（2-a）ln3-2ln3+\frac{1}{3}+6a]$=$\frac{2}{3}-4a+（a-2）ln3$
依題意，只需（m+ln3）a-2ln3＞$\frac{2}{3}-4a+（a-2）ln3$
即：$ma＞\frac{2}{3}-4a$$⇒m＜\frac{2}{3a}-4$
而當(dāng)-3＜a＜-2，$⇒-\frac{13}{3}＜\frac{2}{3a}-4＜-\frac{38}{9}$
$⇒m＜-\frac{13}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值以及恒成立問(wèn)題求參數(shù)范圍；屬于中檔題．