Question

4．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，$AD=2\sqrt{2}$，PA=PD=AB=2，則四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為（　�。�

• A． 2π
• B． 4π
• C． 8π
• D． 12π

Answer 1

分析 設(shè)ABCD的中心為O′，球心為O，則O′B=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，設(shè)O到平面ABCD的距離為d，則R²=d²+（$\sqrt{3}$）²=1²+（$\sqrt{2}$-d）²，求出R，即可求出四棱錐P-ABCD的外接球的表面積．

解答 解：取AD的中點E，連接PE，
△PAD中，PA=PD=2，$AD=2\sqrt{2}$，∴PA⊥PD，∴PE=$\sqrt{2}$，
設(shè)ABCD的中心為O′，球心為O，則O′B=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，
設(shè)O到平面ABCD的距離為d，則R²=d²+（$\sqrt{3}$）²=1²+（$\sqrt{2}$-d）²，
∴d=0，R=$\sqrt{3}$，
∴四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為4πR²=12π．
故選：D．

點評 本題考查四棱錐P-ABCD的外接球的表面積，考查學(xué)生的計算能力，正確求出四棱錐P-ABCD的外接球的半徑是關(guān)鍵．