Question

5．已知函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （-∞，$\frac{1}{2}$]
• D． （0，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性，從而確定a的范圍即可．

解答 解：f（x）=xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．
令g（x）=lnx+1-2ax，
∵函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有極值，則g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有實(shí)數(shù)根．
g′（x）=$\frac{1}{x}$-2a=$\frac{1-2ax}{x}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增，
x→0時(shí)，g（x）→-∞，x→+∞時(shí)，g（x）→+∞，
故存在x₀∈（0，+∞），使得f（x）在（0，x₀）遞減，在（x₀，+∞）遞增，
故f（x）的極大值是f（x₀），符合題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2a}$．
令g′（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{2a}$，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；
令g′（x）＜0，解得x＞$\frac{1}{2a}$，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=$\frac{1}{2a}$時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值．
當(dāng)x趨近于0與x趨近于+∞時(shí)，g（x）→-∞，
要使g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有實(shí)數(shù)根，則g（$\frac{1}{2a}$）=ln$\frac{1}{2a}$＞0，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$．
綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，是中檔題．