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5.已知一個(gè)正倒立的圓錐容器中裝有一定的水,現(xiàn)放入一個(gè)小球后,水面恰好淹過(guò)小球(水面與小球相切),且圓錐的軸截面是等邊三角形,則容器中水的體積與小球的體積之比為5:4.

分析 由題意求出球的體積,求出圓錐的體積,設(shè)出水的高度,求出水的圓錐的體積,利用V+V=V容器,求出圓錐內(nèi)水平面高.即可得出結(jié)論.

解答 解:如圖.在容器內(nèi)注入水,并放入一個(gè)半徑為r的鐵球,這時(shí)水面記為AB,
將球從圓錐內(nèi)取出后,這時(shí)水面記為EF.
三角形PAB為軸截面,是正三角形,
三角形PEF也是正三角形,圓O是正三角形PAB的內(nèi)切圓.
由題意可知,DO=CO=r,AO=2r=OP,AC=3r
∴V=\frac{4}{3}π{r}^{3},VPC=\frac{1}{3}π•3{r}^{2}•3r=3πr3
又設(shè)HP=h,則EH=\frac{\sqrt{3}}{3}h
∴V=\frac{1}{3}π•\frac{1}{3}{h}^{2}•h=\frac{π}{9}{h}^{3}
∵V+V=VPC
\frac{π}{9}{h}^{3}+\frac{4}{3}π{r}^{3}=3πr3,
∴h3=15r3
容器中水的體積與小球的體積之比為\frac{π}{9}{h}^{3}\frac{4}{3}π{r}^{3}=5:4.
故答案為5:4.

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查球的體積和表面積、旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺(tái))等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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